ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОРТАЛ ВОЛГОГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ

Сложные проценты и выбор выгодного банковского вклада.

Что выгоднее — разместить денежную сумму во вклад на длительный срок под более высокие проценты или на более короткий срок под меньшие проценты, но с возможностью пролонгации (продления) и зачисления процентов во вклад (капитализация процентов). Другими словами, что выгоднее — вклад под больший процент начисляемый по формуле простых процентов или вклад под меньший процент, но начисляемый по формуле сложных процентов. Рассмотрим подробнее оба случая с точки зрения начисления процентов.

См. также:

• Формулы расчета НДС, сумма с НДС, сумма без НДС, выделение НДС
• Дисконтирование
• Ставка дисконтирования

Если проценты на вклад начисляются один раз в конце срока вклада, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов (см. формулы простых и сложных процентов).

S = K + (K*P*d/D)/100
Sp = (K*P*d/D)/100

Где:
S — сумма банковского вклада с процентами,
Sp — сумма процентов (доход),
K — первоначальная сумма вклада (капитал),

P — годовая процентная ставка,
d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,
D — количество дней в календарном году (365 или 366).

При начислении процентов на банковский вклад с зачислением процентов во вклад и последующим начислении процентов на полученную сумму с процентами (процент на процент) расчет производится по формуле сложных процентов.

S = K * ( 1 + P*d/D/100 )^N

Где:
S — сумма вклада с процентами,
К — первоначальная сумма вклада (капитал),
P — годовая процентная ставка,
N — число периодов начисления процентов.

Посмотрите Excel таблицу
«Расчеты с процентами»
Рентабельность, прибыль, min наценка, кредиты,
НДС, простые и сложные проценты

При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход) на вклад:

Sp = S — K = K * ( 1 + P*d/D/100 )^N — K

или

Sp = K * (( 1 + P*d/D/100 )^N — 1)

Чтобы сравнить выгодность вкладов поступим следующим образом: для вклада с начислением процентов по формуле сложных процентов рассчитаем результирующий процент для случая простых процентов. Другими словами: например, имеем вклад на 3 месяца с пролонгацией и начислением по формуле сложных процентов, вклад пролежал один год; какой должен был быть процент для вклада сроком 1 год, чтобы получить равный доход.

Сумма процентов по формуле простых процентов

Sp1 = (K*P1*d1/D)/100

Сумма процентов по формуле сложных процентов

Sp2 = K * ((1+P2*d2/D/100 )^N-1)

Мы хотим, чтобы вклады были одинаковы по выгодности, т.е. принесли на одинаковую сумму вклада равный доход (сумму процентов), тогда:

Sp1 = Sp2, или
(K*P1*d1/D)/100 = K*((1+P2*d2/D/100)^N-1)

так как суммы вкладов равны:

(P1*d1/D)/100 = ((1+P2*d2/D/100)^N-1)
P1 = 100 * D*((1+P2*d2/D/100)^N-1) /d1

При этом фактические сроки вкладов должны быть равны, например 6 месяцев для вклада с простым процентом и 6 месяцев (6 раз по одному месяцу) для вклада с пролонгацией и сложным процентом, если срок вклада один месяц.

Примеры:
Результирующий процент при фактическом сроке размещения 12 месяцев для вклада на 1 месяц с годовой ставкой 9, 10 и 11%:
100 * 365*((1+9*30/365/100)¹²-1)/365 = 9.25%
100 * 365*((1+10*30/365/100)¹²-1)/365 = 10.32%
100 * 365*((1+11*30/365/100)¹²-1)/365 = 11.41%

Результирующий процент при фактическом сроке размещения 12 месяцев для вклада на 3 месяца с годовой ставкой 9, 10 и 11%:

100 * 365*((1+9*90/365/100)⁴-1) /365 = 9.18%
100 * 365*((1+10*90/365/100)⁴-1) /365 = 10.23%
100 * 365*((1+11*90/365/100)⁴-1) /365 = 11.3%

Проверка формулы, результирующий процент при фактическом сроке размещения 12 месяцев для вклада на 12 месяцев под 11%:
100 * 365*((1+11*365/365/100)¹-1) /365 = 11%

Удобнее и нагляднее приводить все вклады к годовой доходности, т.е. расчитывать результирующий процент из расчета на год, тогда:

P1 = 100 * 365*((1+P2*d2/365/100)^N-1)/365 или
P1 = 100 *((1+P2*d2/365/100)^N-1).

Некоторые советы:

• Работники банков хорошо осведомлены о свойствах сложных процентов и заинтересованы в привлечении вкладов на более долгий срок, поэтому в одном банке вклады с большим сроком выгоднее. Сравнивать надо вклады в разных банках.
• При длительном сроке вклада возрастает вероятность досрочного снятия вклада по различным причинам, а при досрочном снятии вклада банк начисляет процент по пониженной ставке. В связи с этим может оказаться выгоднее положить вклад на более короткий срок с возможностью пролонгации и начислением сложного процента, даже если результирующий процент окажется немного ниже.

Посмотрите Excel таблицу
«Расчеты с процентами»
Рентабельность, прибыль, min наценка, кредиты,
НДС, простые и сложные проценты

По теме страницы

Карта сайта — Подробное оглавление сайта.
Формулы расчета процентов
Расчет процентов по вкладу
Формулы расчета НДС, сумма с НДС, сумма без НДС, выделение НДС
Формула расчета кредита. Аннуитет, аннуитетные платежи, коэфициент аннуитета, формула аннуитетных платежей
Дисконтирование
Ставка дисконтирования
Леверидж
Финансовый рычаг (финансовый леверидж)
Операционный рычаг (операционный леверидж)

Узнайте о простых и сложных процентах – Финансовая энциклопедия

Проценты определяются как стоимость заимствования денег, как в случае процентов, начисляемых на остаток по кредиту. И наоборот, проценты также могут быть ставкой, выплачиваемой за деньги на депозите, как в случае депозитного сертификата. Проценты можно рассчитывать двумя способами:  простой процент или сложный процент.

• Простые проценты начисляются на основную или первоначальную сумму ссуды.
• Сложные проценты являются рассчитываются на основной сумме, а также от накопленного интереса предыдущих периодов, и, таким образом, можно рассматривать как «проценты на процентах».

Сумма процентов, подлежащих уплате по ссуде, может сильно отличаться, если проценты рассчитываются на сложной, а не простой основе.

С положительной стороны, магия начисления сложных процентов может работать вам на пользу, когда дело касается ваших инвестиций, и может быть мощным фактором создания богатства.

Хотя простые проценты и сложные проценты являются основными финансовыми концепциями, тщательное знакомство с ними может помочь вам принимать более обоснованные решения при получении ссуды или инвестировании.

Формула простого процента

Формула расчета простых процентов:

Таким образом, если простые проценты начисляются по ставке 5% по ссуде в размере 10 000 долларов, взятой на три года, общая сумма процентов, подлежащих уплате заемщиком, рассчитывается как 10 000 долларов х 0,05 х 3 = 1 500 долларов.

Проценты по этому кредиту выплачиваются в размере 500 долларов в год или 1500 долларов в течение трехлетнего срока ссуды.

Формула сложных процентов

Формула расчета сложных процентов за год:

Сомрöцнд IнтеREсектзнак равно(п(1+я)п)-пСомрöцнд IнтеREсектзнак равноп((1+я)п-1)жчере:пзнак равноПринсипалязнак равноИнтерест рате ин перцентаге термспзнак равноНумбер оф компоундинг периодс фор а йеар\ begin {align} & \ text {Сложный процент} = \ big (P (1 + i) ^ n \ big) – P \\ & \ text {Сложный процент} = P \ big ((1 + i) ^ n – 1 \ big) \\ & \ textbf {где:} \\ & P = \ text {Принципал} \\ & i = \ text {Процентная ставка в процентах} \\ & n = \ text {Количество периодов начисления сложных процентов для год} \\ \ end {выровнен}Взаимодействие с другими людьмиСложный процентзнак равно( P(1+я)п)-пСложный процентзнак равноP( (1+я)п-1)где:пзнак равноГлавныйязнак равноПроцентная ставка в процентахпзнак равноКоличество периодов начисления сложных процентов за годВзаимодействие с другими людьми

Сложные проценты = Общая сумма основной суммы долга и процентов в будущем (или будущая стоимость ) за вычетом суммы основного долга в настоящее время, называемой  приведенной стоимостью (PV). ТС – это текущая стоимость будущей суммы денег или потока  денежных средств  при заданной  норме прибыли.

Продолжая простой пример с процентами, какова будет сумма процентов, если они начисляются на сложной основе? В этом случае это будет:

Хотя общая сумма процентов, подлежащих выплате в течение трехлетнего периода по этому займу, составляет 1 576,25 долларов США, в отличие от простых процентов, сумма процентов не одинакова для всех трех лет, поскольку сложные проценты также учитывают накопленные проценты за предыдущие периоды. Проценты, подлежащие выплате в конце каждого года, показаны в таблице ниже.

Сложные периоды

При расчете сложных процентов количество периодов начисления сложных процентов имеет большое значение. Как правило, чем больше количество периодов начисления сложных процентов, тем больше сумма сложных процентов. Таким образом, на каждые 100 долларов ссуды в течение определенного периода сумма процентов, начисленных по ставке 10% годовых, будет ниже, чем процентная ставка, начисляемая по ставке 5% раз в полгода, что, в свою очередь, будет ниже, чем начисленные проценты по ставке 2,5% ежеквартальный.

В формуле расчета сложных процентов переменные «i» и «n» должны быть скорректированы, если количество периодов начисления сложных процентов составляет более одного раза в год.

То есть в скобках «i» или процентная ставка должна быть разделена на «n» – количество периодов начисления сложных процентов в году. За пределами круглых скобок «n» необходимо умножить на «t» – общую длину инвестиции.

Следовательно, для 10-летнего кредита под 10%, где проценты начисляются каждые полгода (количество периодов начисления сложных процентов = 2), i = 5% (т.е. 10% / 2) и n = 20 (т.е. 10 x 2). ).

Чтобы рассчитать общую стоимость с учетом сложных процентов, вы должны использовать это уравнение:

ТотлВлуешятчСомпо¯uпdIнтерест    знак равно(п(1+яп)пт)-пСомрöцнд IнтеREсектзнак равноп((1+яп)пт-1)жчере:пзнак равноПринсипалязнак равноИнтерест рате ин перцентаге термспзнак равноНумбер оф компоундинг периодс пер йеартзнак равноТотлнутбхгуплотнительнаяфуйтыеоRTчеянvEсектментогловп        \ begin {align} & \ text {Общая стоимость со сложным процентом} = \ Big (P \ big (\ frac {1 + i} {n} \ big) ^ {nt} \ Big) – P \\ & \ text {Сложный процент} = P \ Big (\ big (\ frac {1 + i} {n} \ big) ^ {nt} – 1 \ Big) \\ & \ textbf {где:} \\ & P = \ text { Основная сумма} \\ & i = \ text {Процентная ставка в процентах} \\ & n = \ text {Количество периодов начисления сложных процентов в год} \\ & t = \ text {Общее количество лет для инвестиции или кредита} \\ \ end {выровнено}Взаимодействие с другими людьмиОбщая стоимость со сложным процентомзнак равно( P(п

Следующая таблица демонстрирует разницу в том, что количество периодов начисления сложных процентов может составлять сверхурочные для ссуды в 10 000 долларов, взятой на 10-летний период.

Другие концепции начисления процентов

Временная стоимость денег

Поскольку деньги не являются «бесплатными», а имеют стоимость в виде процентов, из этого следует, что доллар сегодня будет стоить больше, чем доллар в будущем. Эта концепция известна как временная стоимость денег и является основой для относительно продвинутых методов, таких как анализ дисконтированных денежных потоков (DCF). Противоположность начислению сложных процентов называется дисконтированием. Фактор дисконтирования можно рассматривать как обратную величину процентной ставки и коэффициент, на который необходимо умножить будущую стоимость, чтобы получить текущую стоимость.

Формулы для получения будущей стоимости (FV) и текущей стоимости (PV) следующие:

Например, будущая стоимость 10 000 долларов США составит 5% годовых в течение трех лет:

= 10 000 долларов США (1 + 0,05) 3

= 10 000 долл. США (1 157 625 долл. США)

= 11 576,25 долл. США.

Приведенная стоимость 11 576,25 долларов США со скидкой 5% на три года:

= 11 576,25 долл. США / (1 + 0,05) 3

= 11 576,25 долл. США / 1 157 625 долл. США

= 10 000 долл. США

Обратное значение 1,157625, равное 0,8638376, в данном случае является коэффициентом дисконтирования.

Правило 72

Правило 72 рассчитывает приблизительное время, в течение которого инвестиция удвоится при заданной норме прибыли или процентной ставке «i» и определяется выражением (72 / i). Его можно использовать только для годового начисления сложных процентов, но он может быть очень полезен при планировании того, сколько денег вы можете ожидать на пенсии.

Например, инвестиция с годовой доходностью 6% удвоится через 12 лет (72/6%).

Инвестиции с годовой доходностью 8% вырастут вдвое за девять лет (72/8%).

Совокупный годовой темп роста (CAGR)

Совокупный годовой темп роста (CAGR) используется для большинства финансовых приложений, требующих расчета единого темпа роста за период.

Например, если ваш инвестиционный портфель вырос с 10 000 до 16 000 долларов за пять лет, каков CAGR? По сути, это означает, что PV = 10 000 долларов США, FV = 16 000 долларов США, nt = 5, поэтому переменная «i» должна быть вычислена. Используя финансовый калькулятор или электронную таблицу Excel, можно показать, что i = 9,86%.

Обратите внимание, что в соответствии с соглашением о движении денежных средств ваши первоначальные инвестиции (PV) в размере 10 000 долларов США отображаются с отрицательным знаком, поскольку они представляют собой отток средств. Чтобы найти «i» в приведенном выше уравнении, PV и FV обязательно должны иметь противоположные знаки.

Реальные приложения

означает, что этот менеджер отстал от рынка.

CAGR также можно использовать для расчета ожидаемых темпов роста инвестиционных портфелей в течение длительных периодов, что полезно для таких целей, как сбережения на пенсию. Рассмотрим следующие примеры:

1. Не склонный к риску инвестор доволен скромной годовой доходностью 3% от своего портфеля. Таким образом, ее нынешний портфель в 100 000 долларов через 20 лет вырастет до 180 611 долларов. Напротив, толерантный к риску инвестор, ожидающий годовой доходности 6% от своего портфеля, через 20 лет увидит, что 100 000 долларов вырастут до 320 714 долларов.
2. CAGR можно использовать для оценки того, сколько нужно убрать, чтобы сэкономить для конкретной цели. Пара, которая хотела бы сэкономить 50 000 долларов в течение 10 лет на первоначальный взнос за кондоминиум, должна будет экономить 4 165 долларов в год, если они предполагают, что годовой доход (CAGR) составит 4% от своих сбережений. Если они готовы взять на себя дополнительный риск и ожидать среднегодового роста в 5%, им нужно будет экономить 3975 долларов в год.
3. CAGR также можно использовать для демонстрации преимуществ инвестирования раньше, чем позже. Если цель состоит в том, чтобы сэкономить 1 миллион долларов к выходу на пенсию в возрасте 65 лет, исходя из среднегодового роста в 6%, 25-летнему человеку нужно будет откладывать 6 462 доллара в год для достижения этой цели. С другой стороны, 40-летнему человеку нужно будет сэкономить 18 227 долларов, или почти в три раза больше, чтобы достичь той же цели.

Дополнительные соображения по интересам

Убедитесь, что вы знаете точную годовую ставку платежа ( APR ) по вашему кредиту, поскольку метод расчета и количество периодов начисления сложных процентов могут повлиять на ваши ежемесячные платежи. Хотя банки и финансовые учреждения имеют стандартизированные методы расчета процентов по ипотеке и другим займам, расчеты могут незначительно отличаться от страны к стране.

Компаундирование может работать в вашу пользу, когда дело касается ваших инвестиций, но оно также может работать на вас при выплате кредита. Например, если вы будете выплачивать половину ипотечного платежа дважды в месяц вместо того, чтобы вносить полную выплату один раз в месяц, в конечном итоге вы сократите срок погашения и сэкономите значительную сумму процентов.

Компаундирование может работать против вас, если у вас есть ссуды с очень высокими процентными ставками, например, по кредитной карте или долгам универмага. Например, остаток по кредитной карте в размере 25 000 долларов США с процентной ставкой 20% (сложенный ежемесячно) приведет к общей сумме процентов в размере 5 485 долларов США за один год или 457 долларов США в месяц.

Суть

Получите магию сложных процентов, работающих на вас, регулярно инвестируя и увеличивая частоту погашения кредита. Знакомство с основными понятиями простых и сложных процентов поможет вам принимать более обоснованные финансовые решения, сэкономив тысячи долларов и со временем увеличив свой собственный капитал.

 

Простые и сложные проценты: определения и формулы

Оглавление

Содержание

• Формула простых процентов

• Формула сложных процентов

• Периоды начисления сложных процентов

• Другие родственные понятия

• Совокупный годовой темп роста

• Реальные приложения

• Дополнительные соображения по процентам

• Суть

По

Элвис Пикардо

Полная биография

Элвис Пикардо регулярно пишет статьи в Investopedia и имеет более чем 25-летний опыт работы в качестве портфельного менеджера с опытом работы на различных рынках капитала.

Узнайте о нашем редакционная политика

Обновлено 10 октября 2022 г.

Рассмотрено

Маргарет Джеймс

Рассмотрено Маргарет Джеймс

Полная биография

Пегги Джеймс — дипломированный бухгалтер с более чем 9-летним опытом работы в области бухгалтерского учета и финансов, включая корпоративные, некоммерческие и личные финансы. Последнее время она работала в Университете Дьюка и является владельцем Peggy James, CPA, PLLC, обслуживающей малый бизнес, некоммерческие организации, индивидуальных предпринимателей, фрилансеров и частных лиц.

Узнайте о нашем Совет финансового контроля

Факт проверен

Райан Эйхлер

Факт проверен Райан Эйхлер

Полная биография

Райан Эйхлер имеет степень бакалавра делового администрирования со специализацией в области финансов Бостонского университета. Он занимал должности и имеет большой опыт в области аудита расходов, личных финансов, недвижимости, а также проверки и редактирования фактов.

Узнайте о нашем редакционная политика

Проценты определяются как стоимость заимствования денег, как и в случае процентов, начисляемых на остаток кредита. И наоборот, проценты также могут быть ставкой, уплачиваемой за деньги по депозиту, как в случае депозитного сертификата. Проценты можно рассчитать двумя способами: простыми процентами или сложными процентами.

• Простые проценты рассчитываются на основную или первоначальную сумму кредита.
• Сложные проценты рассчитываются на основную сумму и накопленные проценты за предыдущие периоды и, таким образом, могут рассматриваться как «проценты на проценты».

Может быть большая разница в сумме процентов, подлежащих уплате по кредиту, если проценты рассчитываются на сложной основе, а не на простой основе. С положительной стороны, магия сложных процентов может работать в ваших интересах, когда речь идет о ваших инвестициях, и может стать мощным фактором создания богатства.

Хотя простые проценты и сложные проценты являются основными финансовыми понятиями, тщательное знакомство с ними может помочь вам принимать более обоснованные решения при получении кредита или инвестировании.

Формула простых процентов

Формула расчета простых процентов выглядит следующим образом:

Простой интерес знак равно п × я × н куда: п знак равно Главный я знак равно Процентная ставка н знак равно Срок кредита \begin{align}&\text{Простые проценты} = P \times i \times n \\&\textbf{где:}\\&P = \text{Основная сумма} \\&i = \text{Процентная ставка} \\ &n = \text{Срок кредита} \\\end{выровнено} Простые проценты=P×i×n, где: P=Основная часть=Процентная ставка=Срок кредита​

Таким образом, если простые проценты начисляются по ставке 5% по кредиту в размере 10 000 долларов США, взятому на три года, то общая сумма процентов, подлежащих уплате заемщиком, рассчитывается как 10 000 долларов США x 0,05 x 3 = 1500 долларов США.

Проценты по этому кредиту выплачиваются в размере 500 долларов США в год или 1500 долларов США в течение трехлетнего срока кредита. n — 1 \big ) \\ &\textbf{где:}\\ & P= \text{Основная сумма}\\ &i = \text{Процентная ставка в процентах} \\ &n = \text{Количество периодов начисления процентов по год} \\ \end{выровнено} Сложные проценты = (P(1+i)n)−PСложные проценты=P((1+i)n−1), где: P=основная сумма=процентная ставка в процентах n=количество периодов начисления сложных процентов в течение года​

Сложные проценты = общая сумма основного долга и процентов в будущем (или будущая стоимость) за вычетом основной суммы в настоящее время, называемой приведенной стоимостью (ТС). PV — это текущая стоимость будущей денежной суммы или потока денежных потоков при заданной норме прибыли.

Продолжая пример с простыми процентами, какой будет сумма процентов, если они начисляются на сложной основе? В этом случае это будет:

Интерес знак равно $ 10 , 000 ( ( 1 + 0,05 ) 3 − 1 ) знак равно $ 10 , 000 ( 1.157625 − 1 ) знак равно $ 1 , 576,25 \begin{align} \text{Проценты} &= \$10,000 \big( (1 + 0,05) ^ 3 — 1 \big ) \\ &= \$10,000 \big ( 1,157625 — 1 \big ) \\ &= \$1,576,25 \\ \конец{выровнено} Проценты​= 10 000 долларов США ((1 + 0,05) 3−1) = 10 000 долларов США (1,157625−1) = 1 576,25 долларов США​

Хотя общая сумма процентов, подлежащих уплате за трехлетний период этого кредита, составляет 1 576,25 долларов США, в отличие от простых процентов, сумма процентов не одинакова для всех трех лет, поскольку сложные проценты также учитывают накопленные проценты за предыдущие периоды. Проценты, выплачиваемые в конце каждого года, показаны в таблице ниже.

Год	Остаток на начало периода (П)	Процентная ставка 5% (I)	Остаток на конец периода (P+I)
1	10 000,00 долларов США	500,00 $	10 500,00 долларов США
2	10 500,00 долларов США	525,00 $	$11 025,00
3	$11 025,00	551,25 $	$11 576,25
Всего процентов		1 576,25 $

СМОТРЕТЬ: Что такое сложные проценты?

Периоды начисления процентов

При расчете сложных процентов большое значение имеет количество периодов начисления процентов. Как правило, чем больше периодов начисления сложных процентов, тем больше сумма сложных процентов. Таким образом, на каждые 100 долларов кредита в течение определенного периода сумма процентов, начисляемых по ставке 10% годовых, будет ниже, чем проценты, начисляемые по ставке 5% раз в полгода, что, в свою очередь, будет ниже, чем проценты, начисляемые по ставке 2,5% ежеквартально.

В формуле расчета сложных процентов переменные «i» и «n» необходимо корректировать, если количество периодов начисления сложных процентов больше одного раза в год.

То есть в скобках «i» или процентная ставка должны быть разделены на «n», количество периодов начисления сложных процентов в году. За скобками «n» нужно умножить на «t» — общую длину инвестиции.

Следовательно, для 10-летнего кредита под 10%, по которому проценты начисляются раз в полгода (количество периодов начисления процентов = 2), i = 5% (т. е. 10% ÷ 2) и n = 20 (т. е. 10 x 2).

Чтобы рассчитать общую стоимость со сложными процентами, вы должны использовать это уравнение:

Общая стоимость с учетом сложных процентов знак равно ( п ( 1 + я н ) н т ) − п Сложные проценты знак равно п ( ( 1 + я н ) н т − 1 ) куда: п знак равно Главный я знак равно Процентная ставка в процентах н знак равно Количество периодов начисления процентов в год т знак равно Общее количество лет для инвестиций или кредита \begin{aligned} &\text{Общая стоимость со сложными процентами} = \Big( P \big ( \frac {1 + i}{n} \big ) ^ {nt} \Big ) — P \\ &\text {Сложные проценты} = P \Big ( \big ( \frac {1 + i}{n} \big ) ^ {nt} — 1 \Big ) \\ &\textbf{где:} \\ &P = \text{ Основная сумма} \\ &i = \text{Процентная ставка в процентах} \\ &n = \text{Количество периодов начисления процентов в год} \\ &t = \text{Общее количество лет для инвестиции или кредита} \\ \end {выровнено} Общая стоимость со сложными процентами = (P(n1+i)nt)−PСложные проценты=P((n1+i​)nt−1), где: P=Основная сумма=Процентная ставка в процентном выражении n=Количество периодов начисления сложных процентов в yeart = общее количество лет для инвестиций или кредита​

В следующей таблице показана разница, которую количество периодов начисления сложных процентов может создать с течением времени для кредита в размере 10 000 долларов США, взятого на 10-летний период.

Частота сложения	Количество периодов начисления процентов	Значения для i/n и nt	Всего процентов
Ежегодно	1	i/n = 10%, nt = 10	$15 937,42
Раз в полгода	2	и/н = 5%, нт = 20	$16 532,98
Ежеквартально	4	и/н = 2,5%, нт = 40	$16 850,64
Ежемесячно	12	i/n = 0,833%, nt = 120	$17 059,68

Другие концепции сложных процентов

Временная стоимость денег

Поскольку деньги не «бесплатны», а имеют стоимость в виде процентов, подлежащих уплате, отсюда следует, что доллар сегодня стоит больше, чем доллар в будущем. Эта концепция известна как временная стоимость денег и формирует основу для относительно продвинутых методов, таких как анализ дисконтированных денежных потоков (DFC). Противоположность компаундированию известна как дисконтирование. Коэффициент дисконтирования можно рассматривать как обратную величину процентной ставки и это коэффициент, на который необходимо умножить будущую стоимость, чтобы получить текущую стоимость. 9{(n\times t)}\\&\textbf{где:}\\&i=\text{Процентная ставка в процентах}\\&n=\text{Количество периодов начисления процентов в год}\\&t=\text {Общее количество лет для инвестиции или кредита}\end{aligned} FV=PV×[n1+i​](n×t)PV=FV÷[n1+i​](n×t), где:i=процентная ставка в процентном выраженииsn=количество периодов начисления сложных процентов в годt=общее число лет для инвестиций или кредита​

Правило 72

Правило 72 вычисляет приблизительное время, в течение которого инвестиции удвоятся при заданной норме прибыли или проценте «i», и определяется как (72 ÷ i). Его можно использовать только для ежегодного начисления сложных процентов, но он может быть очень полезен при планировании того, сколько денег вы можете ожидать на пенсии.

Например, инвестиции с годовой доходностью 6% удвоятся через 12 лет (72 ÷ 6%).

Инвестиции с годовой доходностью 8% удвоятся за девять лет (72 ÷ 8%).

Совокупный годовой темп роста (CAGR)

Сложный годовой темп роста (CAGR) используется для большинства финансовых приложений, требующих расчета одного темпа роста за период.

Например, если ваш инвестиционный портфель вырос с 10 000 до 16 000 долларов за пять лет, то каков CAGR? По сути, это означает, что PV = 10 000 долларов, FV = 16 000 долларов и nt = 5, поэтому необходимо вычислить переменную «i». Используя финансовый калькулятор или электронную таблицу Excel, можно показать, что i = 90,86%.

Обратите внимание, что в соответствии с соглашением о денежных потоках ваши первоначальные инвестиции (PV) в размере 10 000 долларов США показаны со знаком минус, поскольку они представляют собой отток средств. PV и FV обязательно должны иметь противоположные знаки, чтобы решить «i» в приведенном выше уравнении.

Реальные приложения

CAGR широко используется для расчета доходности за периоды для акций, взаимных фондов и инвестиционных портфелей. CAGR также используется для определения того, превысил ли управляющий взаимным фондом или управляющий портфелем рыночную норму прибыли за определенный период. Например, если рыночный индекс обеспечил общую доходность в размере 10% за пять лет, но управляющий фондом получил годовую доходность только в размере 9% за тот же период, то управляющий отстает от рынка.

CAGR также можно использовать для расчета ожидаемых темпов роста инвестиционных портфелей в течение длительных периодов, что полезно для таких целей, как сбережения на пенсию. Рассмотрим следующие примеры:

1. Не склонный к риску инвестор доволен скромной годовой доходностью своего портфеля в размере 3%. Таким образом, их нынешний портфель в размере 100 000 долларов США вырастет до 180 611 долларов через 20 лет. Напротив, терпимый к риску инвестор, ожидающий годовой доходности своего портфеля в размере 6%, увидит, что 100 000 долларов вырастут до 320 714 долларов через 20 лет.
2. CAGR можно использовать для оценки того, сколько нужно убрать, чтобы сэкономить для конкретной цели. Пара, которая хотела бы сэкономить 50 000 долларов США в течение 10 лет на первый взнос за квартиру, должна будет откладывать 4 165 долларов США в год, если они предполагают годовой доход (CAGR) в размере 4% от своих сбережений. Если они готовы взять на себя дополнительный риск и ожидать среднегодового темпа роста в 5 %, им нужно будет экономить 3975 долларов США в год.
3. CAGR также можно использовать для демонстрации преимуществ инвестирования в более ранние, а не в более поздние периоды жизни. Если цель состоит в том, чтобы сэкономить 1 миллион долларов США к выходу на пенсию в возрасте 65 лет, исходя из среднегодового темпа роста в 6%, 25-летнему человеку потребуется откладывать 6 462 доллара США в год для достижения этой цели. С другой стороны, 40-летнему человеку нужно накопить 18 227 долларов, или почти в три раза больше, для достижения той же цели.

Дополнительные процентные выплаты

Убедитесь, что вы знаете точную годовую процентную ставку (APR) по вашему кредиту, поскольку метод расчета и количество периодов начисления сложных процентов могут повлиять на ваши ежемесячные платежи. Хотя банки и финансовые учреждения используют стандартизированные методы расчета процентов, подлежащих уплате по ипотечным кредитам и другим кредитам, расчеты могут незначительно отличаться в разных странах.

Компаундирование может работать в вашу пользу, когда речь идет о ваших инвестициях, но оно также может работать на вас при погашении кредита. Например, внесение половины платежа по ипотеке два раза в месяц вместо полного платежа один раз в месяц сократит период амортизации и сэкономит значительную сумму процентов.

Начисление сложных процентов может работать против вас, если у вас есть кредиты с очень высокими процентными ставками, такие как долг по кредитной карте или универмагу. Например, остаток на кредитной карте в размере 25 000 долларов США с процентной ставкой 20% (начисляемой ежемесячно) приведет к общей сумме процентов в размере 5 485 долларов США в течение одного года или 457 долларов США в месяц.

Практический результат

Получите магию сложного процента, работающую на вас, регулярно инвестируя и увеличивая частоту погашения кредита. Знакомство с основными понятиями простых процентов и сложных процентов поможет вам принимать более эффективные финансовые решения, сэкономив тысячи долларов и со временем увеличив собственный капитал.

Источники статей

Investopedia требует, чтобы авторы использовали первоисточники для поддержки своей работы. К ним относятся официальные документы, правительственные данные, оригинальные отчеты и интервью с отраслевыми экспертами. Мы также при необходимости ссылаемся на оригинальные исследования других авторитетных издателей. Вы можете узнать больше о стандартах, которым мы следуем при создании точного и беспристрастного контента, в нашем редакционная политика.

1. Комиссия по ценным бумагам и биржам США. «Создание выбора».

Простые проценты и сложные проценты и формула

Простые проценты и сложные проценты: обзор

Проценты — это стоимость заимствования денег, когда заемщик платит кредитору комиссию за кредит. Проценты, обычно выражаемые в процентах, могут быть простыми или сложными. Простые проценты основаны на основной сумме кредита или депозита. Напротив, сложные проценты основаны на основной сумме и процентах, которые накапливаются на нее в каждом периоде. Простые проценты начисляются только на основную сумму кредита или депозита, поэтому их легче определить, чем сложные проценты.

Перевод простых и сложных процентов на испанский язык

Key Takeaways

• Проценты — это стоимость заимствования денег, когда заемщик платит кредитору комиссию за кредит.
• Как правило, простые проценты, выплаченные или полученные за определенный период, представляют собой фиксированный процент от основной суммы займа или займа.
• Сложные проценты начисляются и добавляются к накопленным процентам за предыдущие периоды, поэтому заемщики должны платить проценты по процентам, а также основную сумму долга.

Простые проценты

Простые проценты рассчитываются по следующей формуле:

Простой интерес знак равно п × р × н куда: п знак равно Основная сумма р знак равно Годовая процентная ставка н знак равно Срок кредита, лет \begin{align} &\text{Простые проценты} = P \times r \times n \\ &\textbf{где:} \\ &P = \text{Основная сумма} \\ &r = \text{Годовая процентная ставка} \\ &n = \text{Срок кредита, в годах} \\ \end{выровнено} Простые проценты=P×r×n, где: P=Основная сумма=Годовая процентная ставка=Срок кредита в годах​

Как правило, простые проценты, выплаченные или полученные в течение определенного периода, представляют собой фиксированный процент от основной суммы займа или займа. Например, предположим, что студент получает ссуду под простые проценты для оплаты одного года обучения в колледже, которая стоит 18 000 долларов, а годовая процентная ставка по ссуде составляет 6%. Студент погашает кредит в течение трех лет. Сумма начисленных простых процентов составляет:

$ 3 , 240 знак равно $ 18 , 000 × 0,06 × 3 \begin{выровнено} &\$3240 = \$18000 \times 0,06 \times 3 \\ \end{выровнено} 3 240 долларов США = 18 000 долларов США × 0,06 × 3​

и общая сумма оплаты:

$ 21 , 240 знак равно $ 18 , 000 + $ 3 , 240 \begin{выровнено} &\$21 240 = \$18 000 + \$3 240 \\ \end{выровнено} 21 240 долларов США = 18 000 долларов США + 3 240 долларов США​

Сложные проценты

Сложные проценты начисляются и добавляются к накопленным процентам за предыдущие периоды; Другими словами, он включает проценты на проценты. Формула сложных процентов:

Сложные проценты знак равно п × ( 1 + р ) т − п куда: п знак равно Основная сумма р знак равно Годовая процентная ставка т знак равно Количество лет, в течение которых применяются проценты \begin{align} &\text{Сложные проценты} = P \times \left ( 1 + r \right )^t — P \\ &\textbf{где:} \\ &P = \text{Основная сумма} \\ &r = \text{Годовая процентная ставка} \\ &t = \text{Количество лет, в течение которых начисляются проценты} \\ \end{aligned} Сложные проценты = P×(1+r)t−P, где: P=Основная суммаr=Годовая процентная ставка=Количество лет, в течение которых применяются проценты​

Он рассчитывается путем умножения основной суммы на единицу плюс годовая процентная ставка, увеличенная до количества составных периодов, а затем минус уменьшение основной суммы за этот год. При сложных процентах заемщики должны платить проценты не только по основной сумме, но и по процентам.

Примеры простых и сложных процентов

Ниже приведены некоторые примеры простых и сложных процентов.

Пример 1

Предположим, вы вложили 5000 долларов в годовой депозитный сертификат (CD), по которому выплачиваются простые проценты по ставке 3% годовых. Проценты, которые вы заработаете через год, составят 150 долларов:

 $ 5 , 0 0 0 × 3 % × 1 \begin{выровнено} &\$5,000 \times 3\% \times 1 \\ \end{align} ​$5,000×3%×1​

Пример 2

Продолжая приведенный выше пример, предположим, что ваш депозитный сертификат может быть обналичен в любое время, а проценты выплачиваются вам на пропорциональной основе. Если вы обналичите компакт-диск через четыре месяца, сколько вы заработаете в виде процентов? Вы получите 50 долларов: $ 5 , 0 0 0 × 3 % × 4 1 2 \begin{выровнено} &\$5,000 \times 3\% \times \frac{ 4 }{ 12 } \\ \end{выровнено} ​$5,000×3%×124​​

Пример 3

Предположим, Боб занимает 500 000 долларов на три года у своего богатого дяди, который соглашается взимать с Боба простые проценты по ставке 5% годовых. Сколько Бобу придется платить в виде процентов каждый год и какова будет его общая сумма процентов через три года? (Предположим, что основная сумма остается неизменной в течение трех лет, т. е. вся сумма кредита выплачивается через три года.) Бобу придется платить 25 000 долларов в виде процентов каждый год:

 $ 5 0 0 , 0 0 0 × 5 % × 1 \begin{выровнено} &\$500,000 \times 5\% \times 1 \\ \end{выровнено} ​$500,000×5%×1​

или 75 000 долларов США в виде общих процентных платежей через три года:

 $ 2 5 , 0 0 0 × 3 \begin{выровнено} &\$25 000 \times 3 \\ \end{выровнено} ​$25,000×3​

Пример 4

Продолжая приведенный выше пример, Бобу необходимо занять дополнительно 500 000 долларов на три года. К сожалению, его богатый дядя вырублен. Итак, он берет кредит в банке по процентной ставке 5% в год, начисляемой ежегодно, при этом полная сумма кредита и проценты подлежат выплате через три года. Каковы будут общие проценты, выплаченные Бобом?

Поскольку сложные проценты рассчитываются на основную сумму и накопленные проценты, вот как они складываются:

 По истечении первого года проценты к уплате знак равно $ 2 5 , 0 0 0 , или же $ 5 0 0 , 0 0 0 (Основная сумма кредита) × 5 % × 1 По истечении второго года проценты к уплате знак равно $ 2 6 , 2 5 0 , или же $ 5 2 5 , 0 0 0 (Основная сумма кредита + проценты за первый год) × 5 % × 1 Проценты к уплате по прошествии третьего года знак равно $ 2 7 , 5 6 2 . 5 0 , или же $ 5 5 1 , 2 5 0 Основная сумма кредита + проценты за первый год и два) × 5 % × 1 Общая сумма процентов к уплате через три года знак равно $ 7 8 , 8 1 2 . 5 0 , или же $ 2 5 , 0 0 0 + $ 2 6 , 2 5 0 + $ 2 7 , 5 6 2 . 5 0 \begin{align} &\text{После первого года, проценты к уплате} = \$25 000 \text{,} \\ &\text{или } \$500 000 \text{ (основная сумма кредита)} \times 5\% \times 1 \\ &\text{После второго года проценты к уплате} = \$26 250 \text{,} \\ &\text{или } \$525 000 \text{ (основная сумма займа + проценты за первый год)} \\ &\times 5\ % \times 1 \\ &\text{После третьего года, проценты к уплате} = \$27 562,50 \text{,} \\ &\text{или } \$551 250 \text{ Основная сумма займа + проценты за первый год} \\ &\ text{и два)} \times 5\% \times 1 \\ &\text{Общая сумма процентов, подлежащих уплате через три года} = \$78 812,50 \text{,} \\ &\text{или } \$25 000 + \$26 250 + \ 27 562,50 долл. США \\ \end{выровнено} После первого года проценты к уплате = 25 000 долларов США или 500 000 долларов США (основная сумма кредита) × 5% × 1.